Текст в оглавление

В данном этюде разговор о статистике ограничится рассмотрением методов сглаживания, интерполяции и экстраполяции экспериментальных данных. Это одна из типовых инженерных и научно-технических задач, заслуживающая отдельного этюда.

4.1. Заяц

Чтобы приготовить рагу из зайца, нужно иметь как минимум зайца. Чтобы обработать (сгладить, аппроксимировать, интерполировать, экстраполировать и т.д.) экспериментальные данные, нужно иметь как минимум эти данные.

Чаще всего экспериментальные данные представляют собой набор пар чисел (X_i, Y_i), где Y_i – экспериментальные значения некоторой искомой функции, а X_i – значения аргумента.

Рис. 4.1. Ввод и сортировка двух векторов

В пункте 1 на рис. 4.1 переменным X и Y присваиваются транспонированные векторы-строки, а не просто векторы-столбцы. Это делается для компактности записи. Кроме того, элементы векторов имеют лишние нули – 4.0 вместо 4 и т.д. За счет этого выравниваются по вертикали пары значений X_i и Y_i. Без такой маленькой хитрости рано или поздно пары собьются, что будет мешать их просмотру и редактированию. Альтернативное решение этой проблемы – хранение пар данных в матрице с двумя строками и с числом столбцов, равным числу пар[1].

Считается, что программиста от простого смертного можно отличить по простому тесту. Если программиста поставить в голову шеренги и приказать: «По порядку рассчитайсь!», то программист сначала уточнит, по какой системе нужно рассчитываться (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, десятеричная[2]...), а потом выкрикнет: «Нулевой!» В среде Mathcad по умолчанию номер первого элемента вектора (первого ряда и первого столбца матрицы) нулевой. Именно поэтому при семи экспериментальных точках, координаты которых заносятся в векторы X и Y, константа N равна шести (феномен программиста в строю). Номер первого элемента массивов и векторов хранится в системной переменной ORIGIN (an origin – начало, источник), значение которой (по умолчанию оно нулевое) в Mathcad-документе можно изменять (ORIGIN:=1, например). Допустимо менять и второе умолчание «шеренги» – систему счислений.

Ввести в среде Mathcad переменную-вектор можно двумя различными способами (см. этюд 1): отдачей команды Matrices из меню Math (Insert – Mathcad 7 и 8) либо нажатием на панели математических инструментов кнопки с изображением матрицы (щелкнув по ней курсором мыши) – см. рис. 1.7. Ввод за переменной ее индекса также допустим двумя способами: нажатием на панели математических инструментов на кнопку-иероглиф «Переменная с индексом» или набором за именем переменной символа открывающихся квадратных скобок (рудимент языков Pascal и C, где квадратные скобки означают индексную переменную).

Векторы X и Y совсем не обязательно вводить в Mathcad-документ вручную с клавиатуры. Если экспериментальный стенд оборудован средствами АСНИ (автоматизированной системой научных исследований) и данные с приборов заносятся на магнитный диск, то Mathcad-выражение X:=READPRN(имя файла) поможет считать их и оформить в виде Mathcad-вектора (матрицы) с именем X[3]. Кроме того, не следует забывать, что Mathcad – это полноценное Windows-приложение со встроенными средствами обмена в статике и динамике (Clipboard, DDE, OLE). Объемную задачу можно решить лишь тогда, когда голос Mathcad звучит в стройном хоре других приложений (графические, текстовые и табличные процессоры, базы данных, языки программирования и т.д.).

4.2. Сортировка

Пары экспериментальных данных перед дальнейшей обработкой желательно отсортировать по возрастанию значений X. Это можно сделать вручную, переставив местами две первых пары, как в нашем случае (пункт 1 рис. 4.1), или (при объемных массивах данных) автоматически через функцию csort (пункт 2 рис. 4.2), возвращающую упорядоченную матрицу по отмеченному номеру столбца (у нас это нуль[4] – второй аргумент функции csort). Для этого оба вектора-столбца X и Y сливаются в матрицу M с двумя столбцами, которая после сортировки расчленяется на те же, но уже упорядоченные векторы-столбцы. Это приходится делать из-за того, что некоторые функции Mathcad (например, linfit, о которой речь пойдет ниже) отказываются иметь дело с неотсортированным вектором. Да и вообще, как говорят немцы, Die Ordnung muß sein! – Должен быть порядок!

4.3. Поп-стат, или Линейная интерполяция

Встроенные функции intercept (to intercept по-английски – отложить отрезок на линии) и slope (наклон) решают самую простую и самую распространенную задачу линейного сглаживания[5] экспериментальных данных методом наименьших квадратов (см. пункт 3.1).

Рис. 4.2. Линейное сглаживание

Задача аппроксимации, и не только линейной – это типичная оптимизационная задача (см. этюды 2 и 3 и линии уровня в пункте 3.2 на рис. 4.2), сводящаяся к поиску минимума целевой функции СКО (среднеквадратичное отклонение) двух переменных a и b. В свою очередь, линейное сглаживание сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (см. этюд 1 и пункт 3.3 на рис. 4.2), состоящей из приравненных к нулю частных производных функции СКО по коэффициентам a и b.

Решение, показанное в пункте 3.2, предпочтительней для сферы образования – оно как бы «кричит» о сути метода наименьших квадратов: в функции СКО фигурирует квадрат, а сама функция минимизируется.

Рис. 4.3. Определение точки с максимальным отклонением от прямой

Найденные тем или иным способом значения коэффициентов a и b сглаживающей функции y(x) = a + b× x позволяют построить на графике прямую с роящимися вокруг нее точками (у нас квадратиками – рис. 4.3). Подобным графиком на практике, как правило, завершают обработку экспериментальных данных: график, во-первых, даст наглядное представление о качестве сглаживания, а во-вторых, поможет в случае чего отловить допущенные ошибки ввода исходных данных (пропуск десятичной точки, например). Этой цели может служить и предварительная сортировка векторов (см. пункт 2 на рис. 4.1): ошибочные значения (промах эксперимента, неправильный ввод данных) часто всплывают на концах упорядоченного вектора. В-третьих, график сам по себе ценен. С помощью графика, то есть с другого конца, можно довольно быстро решить задачу линейного сглаживания. У автора в лаборатории есть сотрудница, у которой глаз-алмаз: она при помощи тонкой прозрачной линейки так проводит прямую вблизи экспериментальных точек, что по ней можно определить коэффициенты a и b с точностью не меньше трех процентов (толщина карандашной линии).

Несколько слов о графических возможностях Mathcad и других подобных пакетов. Если студент начнет строить график функции по технологии, заложенной в математическом пакете, то автор выгонит такого студента с занятий, да притом вослед будет улюлюкать и топать ногами. Все (скажем осторожнее – почти все) математические пакеты при построении графиков никак (почти никак) не используют элементы искусственного интеллекта, а просто сканируют значение аргумента и проставляют точки с заданным пользователем шагом или с шагом, определяемым разрешением дисплея (принтера). Студентов же учат совсем другому – анализу функции, поиску характерных точек (корней, минимумов, максимумов, точек перегиба и т.д.), опираясь на которые и строится график: парабола, гипербола или какая-нибудь там лемниската Бернулли (см. рис. 1.18 в этюде 1). Но Богу – Богово, кесарю – кесарево, машине – машиново. Беда многих преподавателей в том, что они относятся к математическим пакетам не как к инструментальным средствам, требующим определенной сноровки и навыка (и головы, конечно), а как к своим своеобразным коллегам, которых на пушечный выстрел нельзя подпускать к студентам, изучающим математику, дабы они (студенты) не набрались от них (от пакетов) разных глупостей. Дежурная фраза одной знакомой автора: «Mathcad – круглый дурак, Maple – полный кретин, Mathematica – законченная идиотка».

Нелишне дополнить результаты сглаживания указанием точки, максимально отклонившейся от прямой (см. рис. 4.3). Само значение такого выброса найти несложно через функцию max. А вот с определением координат этой точки придется повозиться: привлечь аппарат булевых выражений, принимающих два значения – True (в среде Mathcad – единица) и False (нуль), умножение которых на текущий индекс фиксирует искомую координату.

В пакете Mathcad более 50 встроенных операторов (см. приложение 2) и почти 300 функций (см. приложение 3). Пять встроенных функций (csort, intercept, slope, min и max) были задействованы в задачах на рис. 4.1-4.3. Когда программисту предстоит решать какую-либо локальную задачу, то перед ним часто встает альтернатива: кодировать ли решение прямо в программе или выносить его наружу, оформляя в виде процедуры (функции). Считается, что глупый человек учится на своих ошибках, а умный – на чужих. Начинающий программист пишет свои процедуры (функции), а опытный ищет их в наборе ранее созданных. Знание пакета Mathcad – это на 90% знание операторов и функций[6], в него встроенных. Остальное – ловкость рук и программирование (средство создания новых инструментов – см. этюд 6).

Есть три причины, заставляющие даже сверхумного программиста отказываться от готовых программных форм и «изобретать велосипед». Первая причина лежит в сфере образования: тексты программ должны быть прозрачными для обучаемых. Во-вторых, в открытый участок программы легко ввести дополнения и изменения, расширяющие сферу ее применения и/или снимающие ранее наложенные ограничения. Так устроен, к примеру, пакет MatLab (разработка фирмы The Math Works). В его состав входят исходные тексты на языке C всех встроенных процедур и функций, так что пользователь перед включением их в работу может что-то узнать о методах, заложенных в них, и/или прощупать их работоспособность. В-третьих, всегда есть опасения, что в готовую программную форму затесалась чужая ошибка, которая, как бомба замедленного действия, может взорвать всю программу в самый неподходящий момент – после сдачи готового программного продукта заказчику или после того, как он разойдется по дилерской сети. Пример у нас под рукой (рис. 4.3). При всем богатстве встроенных функций пакету Mathcad не хватает функции определения в векторе или в матрице координат минимального (максимального) элемента. Выход из положения – это сумма (для вектора) или двойная сумма (для матрицы) произведений номера текущего элемента на булево выражение (см. рис. 4.3). Эту конструкцию так и хочется оформить в виде новой функции с именем imax, например, и больше с такой задачей не возиться. Но в новую функцию перекочует и будет замаскирована ошибка – неясно, что будет возвращать новорожденная функция imax, если в аргументе-векторе (в массиве) два или более максимальных элементов. Из прозрачной формулы с суммой это понятно, а из «затененной» функции imax – нет. Все эти замечания можно отнести и к встроенным функциям intercept и slope, возвращающим значения коэффициентов сглаживающей прямой. Всегда остаются сомнения, а нет ли в этих функциях фактической или методологической ошибки. Последнюю можно обнаружить, если подставить в функции intercept и slope аргументы-векторы с двумя или даже одним элементом. Через две точки всегда можно провести прямую. Через одну точку прямых можно провести бесчисленное множество. И в том, и в другом случае сумма квадратов отклонений двух точек (одной точки) от прямой будет минимальной (нулевой), и требования метода наименьших квадратов будут выполняться абсолютно. Но в первом случае функции intercept и slope будут решать простую интерполяционную задачу, для которой в среде Mathcad есть особый математический аппарат (см. ниже). Во втором случае (X и Y – не векторы, а скаляры) функции intercept и slope должны выдавать бесчисленное множество значений, связанных ограничением Y = a + b × X. В плане выполнимости критерия наименьших квадратов здесь все безупречно, но методология, заложенная в функции intercept и slope, приводит к тому, что при числе элементов в векторах X и Y, меньшем двух, выдается сообщение об ошибке. Но все это слабая защита, которую пользователь легко может обойти, подсунув функциям intercept и slope более одной точки, но с повторяющимися значениями аргументов. Резюме: играть можно не только с игровыми программами. На эту роль подходят и серьезные математические пакеты – было бы желание у пользователя. Компьютер же, как здоровая молодая собака, всегда готов играть со своим хозяином. Замахнется, к примеру, человек палкой, но не бросит ее, – собака прыгает, вертит головой, но не знает, куда бежать. Подсунет пользователь машине хитрый аргумент – функция не знает, что с ней делать, и выдает какие-то странные сообщения об ошибках, веселящие пользователя.

Есть направление в искусстве под названием поп-арт – популярное искусство. Методика обработки статистических данных, показанная на рис. 4.2, может быть названа поп-статом.

Рис. 4.New. Универсальный метод сглаживания

4.4. Полином

Исследователю, обрабатывающему на компьютере свои экспериментальные точки, нет дела до всех этих методологических тонкостей. Не напороться бы на фактическую ошибку, и на том спасибо. Уже упоминавшийся KISS – принцип программирования призывает пользователя прибегать к закрытым алгоритмам только в крайних случаях. При поиске сглаживающего полинома Р-й степени при Р, равном единице (линейная задача), можно обойтись без функций intercept и slope, вспомнив, что эта оптимизационная задача сводится к решению системы двух линейных алгебраических уравнений. Полином более высокой степени потребует решения более объемной, но все той же линейной системы.

Рис. 4.4. Аппроксимация полиномом 3-й степени

На рис. 4.4 формируются матрица A коэффициентов при неизвестных и вектор B свободных членов системы четырех линейных алгебраических уравнений, к которой сводится задача об аппроксимирующем полиноме третьей степени (кубическом). Сама система может решаться либо матричными операторами (a:=A^-1×B), либо обращением к встроенной функции lsolve (см. пункт 3.3.2 рис. 4.2). Полноценный программный пакет всегда должен предоставлять пользователю возможность сделать какую-либо операцию двумя, а еще лучше тремя различными способами. Пользователь будет чувствовать себя комфортно в программной среде, если его право выбора не ограничено. На выбор же могут влиять не только сомнения в качестве тех или иных готовых инструментальных средств (см. выше) или нечеткое знание области их применения, но и вкусовые предпочтения пользователя. Решение системы линейных алгебраических уравнений (базовая задача любого Решателя) через матричные операторы неудобно тем, что пользователь все время напарывается на сообщения об ошибках, набирая R := B / A или R := B × A^-1. Крамольность первого выражения очевидна – в математике нет понятия матричного деления. Но почему нельзя писать R := B × A^-1, знают далеко не все. Так или иначе, о KISS-принципе не следует забывать. Помнить следует и другое предостережение, зафиксированное в пословице: «Простота хуже воровства». Выкладки рис. 4.4, от которых рябит в глазах из-за обилия «сигм», можно упростить вводом переменных с индексом A_k,m и B_k(рис. 4.9). Но! Автор уже раз обжегся на суммировании в среде Mathcad, когда рассматривал систему искусственного интеллекта SmartMath (рис. 7.15 в этюде 7): за суммой, особенно тройной с пересекающимися индексами, может таиться ошибка.

4.5. Полусвобода

Потребность в замене сомножителей X_k полинома более сложными формулами вызвала к жизни функцию linfit (LINear FITting – линейное сглаживание).

Рис. 4.5. Сглаживание с использованием функции linfit

Аргументы функции linfit – числовые векторы X и Y и вектор-функция f, хранящая набор пользовательских сомножителей (на рис. 4.5 – это 1, 1/x, 1/x² и 1/x³), коэффициенты которых функция linfit возвращает в вектор a, опираясь на метод наименьших квадратов (см. рис. 4.5).

4.6. Свобода

Рис. 4.6. Нелинейное сглаживание

1. В среде Mathcad есть функция genfit (GENeral FITting – общее сглаживание), допускающая множество параметрических коэффициентов у сомножителей произвольного вида. Она, в отличие от функции linfit, решает нелинейную[7] задачу аппроксимации. Пример использования функции genfit дан в пункте 7.1 на рис. 4.6. В функцию-вектор f необходимо занести не только само сглаживающее выражение (у нас это экспоненциальная функция), но и его частные производные[8] по искомым параметрам a₀ и a₁,.объединенным в вектор. Из-за того, что нелинейная задача может иметь более одного решения, функция genfit требует начального приближения (третий аргумент-вектор), вблизи которого и ищется одно из решений.

2. Без функции genfit задачу нелинейной аппроксимации, как правило, решают линеаризацией исходных данных, подключая к работе уже известные нам функции intercept и slope. В нашем случае (пункт 7.2 на рис. 4.6) при исходном уравнении Y=a × x ^b встроенные функции intercept и slope прикладывают к новому уравнению Ln(Y)=Ln(a)+b×Ln(X). Но это приводит к некоторому искажению математической модели: сумма X и сумма логарифмов X – это далеко не одно и то же.

3. В ряде случаев при решении задачи нелинейной аппроксимации можно обойтись и без функции genfit (пункт 7.1 рис. 4.6), и без искажающей линеаризации (пункт 7.2), применив открытый алгоритм поиска значений коэффициентов a0 и a1, минимизирующих целевую функцию – сумму квадратов отклонений точек от кривой. Расчет, показанный в пункте 7.3 на рис. 4.6, кроме того, не требует знания частных производных сглаживающего уравнения.

В конце рис. 4.6 приведено графическое сравнение трех методов нелинейного сглаживания. Из графика видно, что линеаризация исходных данных (пункт 7.2) привела к существенным искажениям результата. Поиски же параметрических коэффициентов через функцию genfit (пункт 7.1) и через минимизацию (пункт 7.3) близки по результатам.

Практический совет по выбору наиболее подходящей формулы для сглаживания. В Mathcad-документе можно хранить набор формул, подключая одну из них по мере надобности к статистической обработке экспериментальных точек. В диалоговом окне Properties (свойства – оно вызывается командой Properties в меню Format) есть переключатель Disable Evaluation (Запретить вычисления), позволяющий превращать математические выражения[9] в комментарий:

Данный переключатель превращает выражение в комментарий (что отмечено черным квадратиком правее выражения) и переопределяет тем самым функцию пользователя. О втором переключателе (Enable Optimization – Разрешить оптимизацию) будет рассказано в этюде 7 (раздел 7.3).

В Mathcad-документе можно записать множество функций пользователя, подключая одну из них к аппроксимации: линейной (рис. 4.2), экспоненциальной (рис. 4.6), логарифмической и т.д., и подбирая тем самым наилучшую модель обработки экспериментальных данных. Выбор формулы можно вести и без переключателя Disable Evaluation, опираясь на свойство среды Mathcad включать в расчеты только последнюю запись функции. Нужную функцию можно просто перетаскивать (технология drag-and-drop) в конец списка.

4.7. Опять полусвобода

При обработке данных эксперимента, разбросанных «как попало», часто хочется плюнуть на критерии оптимизации и просто провести линию (кривую или, на худой конец, ломаную, состоящую из прямых отрезков) непосредственно через точки. Благо в среде Mathcad есть для этого инструментарий: средства линейной интерполяции (функция linterp – рис. 4.7) и интерполяции сплайном (interp – рис. 4.8) – линейным (lspline), параболическим (pspline) и кубическим (cspline).

Рис. 4.7. Линейная интерполяция

Рис. 4.8. Интерполяция сплайном

Отличия в линейной (lspline), параболической (pspline) и кубической (cspline) интерполяции сплайном заметно проявляются только на концах отрезка X₁-X_N. Эти области на рис. 4.8 рассмотрены «под лупой». Здесь нужно говорить уже не об интерполяции, а об экстраполяции (см. ниже рис. 4.14)

Несложно через точки провести полином N-й степени (рис. 4.9):

Рис. 4.9. Интерполяция полиномом

Но нанизать опытные точки на интерполяционный «шампур», напрочь игнорируя неизбежные ошибки эксперимента, может только совсем безграмотный исследователь. У интерполяции другие сферы применения. Расскажем об одной из них. При решении в среде Mathcad какой-либо задачи нередко образуется составная функция[10], обращение к которой вызывает длинную цепочку сложных вычислений, связанных с поиском корней уравнения, с дифференцированием, интегрированием и т.д. Работать с такой функцией становится невмоготу даже на мощном компьютере. Один из выходов – омолаживание «бабушки»: табулирование «тормозной» функции с последующей заменой ее на эрзац-функцию, опирающуюся на интерполяцию – линейную, нелинейную или сплайном. И что удивительно, «омоложенная» функция, хоть и теряет напрочь свою физику, но в особых условиях может возвращать более точное значение, чем ее прародительница, в которой накапливаются ошибки численных методов. Узлы же интерполяции можно просчитать на пределе точности.

4.8. Еще немного статистики

На рис. 4.10 показано, как функция lspline может сгладить уже не линией, а поверхностью экспериментальные точки двухфакторного эксперимента с помощью двухмерной сплайн-интерполяции. У нас есть уже не вектор, а матрица экспериментальных точек, зависящих от двух переменных эксперимента: температуры пара (T) и его давления (P – см. www.wsp.ru).

Рис. 4.10. Двухмерная сплайн-интерполяция[11]

Далее автор приводит несколько пронумерованных «Советов тем, кто работает с Mathcad», которые публикуются в журнале КомпьютерПресс – на бумаге и на прилагаемом к журналу лазерном диске.

Педагогический опыт автора[12] говорит о том, что студенты, выполняющие термодинамические расчеты, очень часто ошибаются в размерностях: складывают, например, джоули с британской единицей теплоты, а ответ записывают в калориях, забывая о соответствующем пересчете. Мы этой темы уже подробно коснулись в этюде 1. Среда Mathcad позволяет правильно (с соответствующими пересчетами) оперировать размерными величинами и «ругается» только в крайних случаях, когда, например, складывается длина с массой. Наша пользовательская функция h(T, P) возвращает размерную величину (удельная энтальпия перегретого водяного пара), а ее аргументы (давление и температура пара) – также размерные величины.

Совет 25.

Формируя пользовательскую интерполирующую функцию, необходимо сразу освободиться от размерностей аргументов, приведя их к безразмерной величине относительно данных в боковике (у нас это температура) и шапке (давление) таблицы узловых (опорных) точек. Размерность функции, соответствующая данным в таблице, приписывается к возвращаемой величине в конце формируемой функции.

Все это позволяет иметь в качестве аргументов функции величины с любой допустимой размерностью температуры и давления и получать удельную энтальпию также с различной размерностью (см. рис. 4.10).

Совет 26.

Интерполяция, как правило, ведется в оговоренном диапазоне значений аргументов. Поэтому будет целесообразно вставить в функцию пользовательские сообщения об ошибке – о выходе за пределы разумных значений аргументов[13]. Для этого предназначена встроенная в Mathcad функция error(“Сообщение об ошибке”), прерывающая выполнение вычислительной процедуры и своим комментарием призывающая пользователя исправить оплошность. Если пользователь «подсунет» функции h(T, P), к примеру, не температуру и давление, а массу и длину, то заработает уже встроенное сообщение об ошибке “The units in the expression do not match” (Единицы в выражении не соответствуют правилам – см. рис. 4.11):

Рис. 4.11. Сообщения об ошибках: пользовательские и встроенные

Совет 27.

Методика двухмерной сплайн-интерполяции, реализованная в Mathcad, требует, чтобы табличные значения двух аргументов хранилась в матрице с двумя столбцами, а табличные значения функции – в квадратной матрице. Для лучшего обзора и редактирования табличные данные можно временно объединить в одной квадратной матрице (у нас ее имя M, а размер (порядок) 19 на 19 – см. рис. 4.10), где первый столбец без первого элемента – это табличные значения температуры (первый аргумент формируемой функции), а первая строка без первого элемента – табличные значения давления (второй аргумент). Последующие манипуляции функцией submatrix раскладывают все «по полкам» – матрица TP с двумя столбцами и с 18 строками хранит табличные значения аргументов, а квадратная матрица H с порядком 18 – табличные значения удельной энтальпии. Так можно добиться компромисса между требованиями Mathcad и требованиями наглядного размещения данных.

Для лучшего обзора исходных данных и для разделения их на функциональные группы в исходной матрице можно записывать числовые константы (элементы матрицы) с различным видом и размером шрифта – см. рис. 4.10 (непронумерованный совет).

Совет 28.

Никогда не стоит опираться на конкретное значение системной переменной ORIGIN (номер первой строки и первого столбца матриц) и на конкретный размер матриц. В функции h(T, P) записан оператор «вырезания куска» из матрицы M – вектора табличных значений температур:

TP^<ORIGIN>¬submatrix(M, ORIGIN + 1, rows(M) - 1, ORIGIN + 1, cols(M) - 1),

а не

TP^<0>¬submatrix(M, 1, 18, 1, 18)

Два эти выражения эквивалентны только при ORIGIN=0 (умолчание Mathcad) и при порядке матрицы M, равном 19. При других значениях переменной ORIGIN и при других размерах матрицы M второе выражение при вызове функции h даст сбой.

Совет 29.

Очень часто табличные данные, отображающие значения какой-либо физической величины (удельной энтальпии водяного пара, как в нашем случае), не укладываются в отведенные им в среде Mathcad сугубо квадратные рамки. На место отсутствующих данных (левый нижний и правый верхний угол нашей квадратной матрицы) можно записать что-то, резко отличающееся от «настоящих» данных. У нас это минус единица. Возврат значения функции нужно предварить оператором error (см. предпоследнюю строку на рис. 4.10), прерывающим расчет, если возвращаемое значение «не лезет ни в какие ворота» в смысле порядка величины. В нашем случае с функцией h(T, P) значение энтальпии не может быть меньше, чем 1930.8 кДж/кг – наименьшее «разумное» значения матрицы энтальпий. Если так получилось, то это означает, что при интерполяции «захвачена» минус единица и решение неверно.

Совет 30.

При подготовке Mathcad-документа к публикации стоит переместить копию экрана дисплея (клавиша PrtSc) в среду какого-либо графического редактора (Paintbrush, например) и там его доработать. Основные направления доработки, которыми автор воспользовался, готовя иллюстрации к этой книге:

· вертикальная линия, отмечающая начало и конец процедуры формирования функции пользователя h(T, P) на рис. 4.10, изогнута, что позволило сделать листинг более компактным;

· для этой же цели были убраны столбцы, хранящие энтальпию пара при 8, 10, 12, 15, 20 и 22 МПа;

· в среде графического редактора в Mathcad-документ можно внести то, что в среде Mathcad не внесешь, например, вертикальный комментарий на месте стертых столбцов и другие пометки – см. рисунки книги;

· копируя экран дисплея, можно захватить информацию, которая при простой распечатке Mathcad-документа (команда Print в меню File) пропадает. Это, во-первых, встроенные и пользовательские сообщения об ошибках – см. рис. 4.11. Можно из разных копий экрана дисплея, фиксирующих различные моменты диалога пользователя с компьютером, собрать один: на рис. 4.11 выведены все три сообщения об ошибках, хотя на экране дисплея одновременно можно видеть лишь одну – ту, которая выпадает из «покрасневшей от ошибки» функции, когда пользователь наводит на нее курсор мыши.

На рис. 4.12 проиллюстрирован вызов функции h(T, P) при различных значениях и различных размерностях аргументов. Размерность возвращаемой функцией удельной энтальпии пользователь также вправе менять.

Рис. 4.12. Примеры работы двухмерной сплайн-интерполяции

На рис. 4.13 приведен пример формирования с помощью одномерной сплайн-интерполяции еще одной важной термодинамической функции одного аргумента – зависимости удельного объема кипящей воды от ее температуры.

Рис. 4.13. Пример одномерной сплайн-интерполяции

Сплайн-интерполяция особенно критична на границах отрезка (области) существования аргументов. Вне этих границ речь идет уже не об интерполяции, а об экстраполяции – о предсказании значений функции за границами отрезка.

На рис. 4.14 показана работа функции predict, с помощью которой предсказывается поведение какой-либо зависимости.

Рис. 4.14. Экстраполяция

У функции predict (prediction – предсказание) три аргумента: вектор имеющихся данных (у нас 100 значений функции y(x) на интервале от 0 до 99 с шагом 1), число последних данных, учитываемых в предсказании (у нас их 50) и число предсказываемых данных (100). На графике на рис. 4.14 толстая кривая – функция y(x) на интервале 0-99, тонкая кривая – функция y(x) на интервале 100-199, а квадратики – предсказанные значения (не все, а только кратные 5), которые где-то в районе 160-170 обрываются.

Задание читателю, подготавливающее его к чтению следующего этюда, где будет описана математическая модель одной финансовой операции, – предсказать курс доллара на будущую неделю, опираясь на данные предыдущего месяца или года.

На рис. 4.15 проиллюстрирована работа сглаживающей функции supsmooth. Решается такая задача – сгладить функцию стоимости, например, комплектующих компьютера (см. задачу на рис. 6.33-6-35) в зависимости от объема закупки (скидка оптовикам).

Рис. 4.15. Примеры работы функции supsmooth

4.9. Экспертная оценка качества чего-либо[14]

Качество есть качество. Качество нельзя измерить[15], но можно оценить. Существуют две формы оценки качества: лингвистическая и количественная. В первом случае качество определяют словами: например, «качество высокое», «среднее», «низкое» и т.д. Во втором случае качество оценивают по некоторой условной шкале числом K (0 ≤ K ≤ M, где M - высший балл в числовой оценке качества). Например, «пять», как в российской, или 100 как в английской школах.

Для оценки качества привлекаются эксперты. Экспертной оценке качества могут быть подвергнуты товары и услуги, проекты и законы, знания и квалификация, выступления фигуристов, гимнастов или вокалистов и многое другое.

В повседневной жизни при принятии решения можно исходить из лингвистической оценки качества: мы покупаем хороший чай или инструмент высокого качества (если позволяют средства). Однако есть такие задачи, в решении которых лучше руководствоваться количественной оценкой качества. Кроме того, обычно лингвистические оценки строятся на основе экспертных количественных оценок. Так, качество выпускника английского университета и достоинство диплома, который он получает, определяется по следующей шкале:

Средний балл в интервале оценок по 100-бальной шкале	Достоинство диплома (лингвистическая оценка)
90 - 100	С отличием
85 - 90	Первой ступени А
80 - 85	Первой ступени Б
70 - 80	Второй ступени
менее 70	Обычный

Независимо от объекта, качество которого подлежит экспертной оценке, методика ее получения в основе своей одинакова.

Рассмотрим задачу оценки деловых качеств руководителя (менеджера). Для оценки потребуются модель качества менеджера, эксперты и математическая обработка результатов работы экспертов.

Модель качества специалиста может быть представлена в виде некоторого набора важнейших качественных параметров (качеств), характеризующих его профессиональный уровень, личностные, деловые качества и предопределяющих успешную работу в рассматриваемой сфере деятельности.

Допустим, что этот набор включает следующие качества:

1) уровень и качество образования, опыт практической работы,

2) эрудиция, знания и умения в своей и смежных сферах деятельности,

3) обучаемость и способность обучать,

4) культурный уровень, моральные стандарты,

5) физическое и психологическое здоровье, возраст,

6) характер, отношение к окружающим,

7) умение руководить,

8) амбициозность, стремление к лидерству,

9) способность к риску,

10) динамизм (способность оценивать и принимать изменения внутренней и внешней среды).

Эксперты располагают данными (анкеты, опросные листы, результаты тестов и прочее), позволяющими оценить по пятибалльной системе степень принадлежности качества кандидату. Пятибалльная система привычна и обеспечивает возможность представительной оценки степени принадлежности качества кандидату, например, по следующему алгоритму:

Принадлежность качества кандидату	Оценка в баллах
отсутствует	1
проявляется в слабой степени	2
проявляется	3
проявляется явно	4
присуще в полной мере	5

Результатом работы экспертов станет таблица оценок каждого из десяти качеств модели каждым экспертом[16] (количество экспертов определяется важностью решения и средствами, выделенными на экспертизу).

Рис. 4.16. Оценка качеств менеджера (начало)

В пункте 1 на рис. 4.16 оценки экспертов введены в матрицу M, содержащую девять строк (число экспертов n, j=1..9) и десять столбцов (число качеств m, i=1..10).

Пятибалльная средневзвешенная оценка деловых качеств менеджера определяется по формуле:

(4.1)

где m – количество оцениваемых качеств, i := 1, 2.. m,

n – число экспертов, j := 1, 2.. n,

М_j,i – оценка j-м экспертом i-го качества в баллах,

a_i – весовой коэффициент для i-го качества.

Весовые коэффициенты определяют относительную значимость качеств: если i-е качество представляется незначимым, то весовой коэффициент a_i равен нулю. Придание коэффициенту a_i значения, равного единице, делает незначимыми все остальные качества. Весовые коэффициенты должны удовлетворять следующему условию:

(4.2)

Значения весовых коэффициентов могут быть установлены различными способами:

· лицом, принимающим решения (ЛПР);

· экспертом с соблюдением условия (4.2);

· по результатам экспертных оценок качества, косвенно отражающих мнения экспертов о значимости оцениваемых характеристик.

В последнем случае весовые коэффициенты рассчитываются по формуле:

(4.3)

Вычисленные значения весовых коэффициентов в табличной и графической формах представлены в пункте 3 на рис. 4.17.

Рис. 4.17. Оценка качеств менеджера (окончание)

Средневзвешенная оценка качества менеджера в баллах (пункт 4 на рис. 4.17) ¾ K_м = 4.162.

Алгоритм определения весовых коэффициентов a_i влияет на оценку качества, которая может быть выполнена по выбору ЛПР на основе гипотезы равной значимости весовых коэффициентов:

где a_i= 1 / n.

В этом случае оценка качества значительно возрастает (в сравнении со средневзвешенной оценкой) – K_1м = 4.593.

Значения весовых коэффициентов могут быть установлены с учетом специфики конкретного заказа из условия приоритета качеств (требуется «высокий» профессионал, личность приятная во всех отношениях, но без особой склонности к руководству). В этом случае приоритеты могут быть установлены, например, на следующих значениях: для профессиональных качеств ¾ k_п1=1.15, личностных ¾ k_п2 =1.05, деловых ¾ k_п3 =0.8. Значения весовых коэффициентов для групп качеств r определяются формулой:

(a_r)_i = k_п_r / n, где n = 9, r= 1, 2, 3,

и равны – (a₁)_i =1.15 / 9 = 0.128; (a₂)_i =1.05 / 9 = 0.117; (a₃)_i =0.8 / 9 = 0.089.

Вектор-строка весовых коэффициентов имеет вид:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
(a_r)_I	(a₁)_i	(a₁)_i	(a₁)_i	(a₂)_i	(a₂)_i	(a₂)_i	(a₃)_i	(a₃)_i	(a₃)_i

Средневзвешенная оценка качества менеджера в баллах (пункт 8 на рис. 4.17) ¾

K_м = 4.496.

Итак, в рассмотренном примере в зависимости от способа определения весовых коэффициентов получены три оценки качества:

K_m= 4.162 – при экспертной оценке a;

K_1m = 4.593 – случай равнозначимых весовых коэффициентов;

K_2m= 4.496 – при приоритете (k_п1=1.15) профессиональных качеств.

Выбор кандидата – прерогатива лица, принимающего решение, или конкурсной комиссии.

Рассмотренная методика применима для оценки качества продукции, результатов испытаний, экзаменов и других задач экспертной оценки.

Возможно, руководителю группы экспертов или заказчику экспертизы потребуется анализ результатов работы экспертов для оценки их компетентности, пристрастий или добросовестности.

Весовые коэффициенты i-го качества в оценке j-го эксперта рассчитываются по формуле

Результаты расчета содержатся в матрице a (пункт 5 на рис. 4.17).

Для наглядного представления результатов работы экспертов, анализа оценок, близости объекта к эталону качества в некоторых задачах очень удобна радарная диаграмма (Radar-diagram). Пример – экспертиза проекта электростанции по таким показателям: экономичность, экологичность, архитектурные решения, совместимость с еще не подпорченным ландшафтом, безопасность, надежность, значимость для экономики региона и др. Для всех показателей из центра диаграммы проводятся лучи, на которых откладываются средние значения оценок экспертов. Соединив точки на лучах, получим многоугольник. Эталону качества будет соответствовать вписанный в окружность с радиусом М (М – высший балл по шкале оценок) правильный многоугольник[17]. Степень приближения к эталону наглядно представляется формой и относительной площадью получившегося на основе оценок экспертов многоугольника (пункт 2 на рис. 4.6).

Тема оценки качества далеко не исчерпана. Интересные решения могут быть получены с использованием теории нечетких множеств (см. этюд 6).

[1] Сравните пары римских и арабских чисел на рис. 6.47.

[2] В среде Mathcad при форматировании чисел допустимо менять систему счислений. Двоичная система появилась только в Mathcad 8.

[3] Для поддержки АСНИ существуют также и специализированные программные средства – LabVIEW, LabWindows (разработка National Instruments, Corp.), например.

[4] Здесь лучше записать не нуль, а системную (предопределенную) переменную ORIGIN. Так мы и поступим в пункте 3.2 на рис. 4.2.

[5] Здесь чаще используют термин «аппроксимация» – приближение прямой линии к точкам. Еще здесь упоминают регрессию – зависимость средней величины (прямая линия) от других величин (экспериментальные точки). Тут можно усмотреть некую путаницу в терминологии. Надеемся, что читатель в данном случае сам разберется, что к чему.

[6] Третья группа инструментов решения задач – это команды меню.

[7] Градация на линейную и нелинейную аппроксимацию весьма условна.

[8] Вот здесь-то и пригодятся средства символьной математики (этюд 7).

[9] На него нужно предварительно поместить курсор.

[10] Студенты автора называют ее «тормозная бабушка».

[11] Операторы функции, формируемых на рис. 4.10 и 4.13, объединены в единый операторный блок. Это позволяет использовать механизм локальных переменных – см. этюд 6.

[12] Автор советов – преподаватель Московского энергетического института. Основа не только российской, но и мировой энергетики – это теплоэнергетика (ТЭС и АЭС), где рабочее тело – в основном, вода и водяной пар.

[13] Если создаваемая функция будет использоваться для решения обратной задачи (поиск, например, значения температуры при заданных значениях давления и энтальпии пара), то такие сообщения об ошибке лучше убрать. При численном поиске корня уравнения (а к этому сводится такая задача) ничего не будет страшного в том, что мы временно будем вылезать из области разумного существования аргументов.

[14] Главка написана совместно с М.Панько.

[15] Понятие «эталон качества»- синоним оценки «высочайшее качество».

[16] Существенный недостаток данной методики в том, что все эксперты обязаны оценить все без исключения качества испытуемого. Мы должны заполнить прямоугольную таблицу – матрицу. Но в реальной жизни далеко не все привлеченные к этой работе являются признанными экспертами в оценке всех качеств объекта исследования. Мы уже сталкивались с подобной проблемой, втискивая табличные данные по энтальпии пара в квадратную матрицу – см. рис. 4.10.

[17] Вспомним чеховское: «В человеке все должно быть прекрасно – и лицо, и одежда, и душа, и мысли!»